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場合の数 ②例題

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例題1

男子3人、女子3人の合わせて6人が一列に並んで写真撮影をする。

(1)男女が交互に並ぶ並び方は何通りありますか。
A:36通り B:54通り C:72通り D:108通り
E:120通り F:240通り G:360通り H:720通り

(2)PとQは仲の良い男子です。2人が隣り合う並び方は何通りありますか。
A:120通り B:144通り C:180通り D:240通り
E:288通り F:360通り G:392通り H:400通り


解答と解説

解答

(1)C
(2)D

解説(1)

●○●○●○のように男女を交互に並べます。
男子を●の場所に並べる場合、男子の並べ方は、
3×2×1=6(通り)あります。

女子の○の場所に並べる並べ方も
3×2×1=6(通り)あります。

男子の6通りの並べ方すべてに対して、それぞれ女子の6通りの並べ方があるので、全部で
6×6=36(通り)あります。

また、男子を○の場所に並べる場合も、同様に36通りあるので、全部で
36×2=72通りです。

よって答えはCです。

解説(2)

PとQを一つのかたまりとして【 A 】と名づけます。
すると【 A 】と他4人の合計5つのものの並べ方になるので、
5×4×3×2×1=120(通り)となります。

かたまりAは、PQと並ぶ場合とQPと並ぶ場合があるので、
120×2=240(通り)

よって答えはDです。


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例題2

男子4人、女子5人の中から委員を3人選ぶ。

(1)男子2人、女子1人を選ぶ選び方は何通りありますか。
A:12通り B:24通り C:30通り D:54通り
E:60通り F:72通り G:75通り H:90通り

(2)少なくとも1人男子を選ぶ選び方は何通りありますか。
A:52通り B:56通り C:62通り D:66通り
E:70通り F:74通り G:78通り H:80通り


解答と解説

解答

(1)C
(2)F

(1)解説

男子4人の中から2人を選ぶ選び方は、4C2=4×3/2×1=6(通り)
女子5人の中から1人を選ぶ選び方は、5通り

よって、6×5=30(通り)
答えはCとなります。

(2)解説

余事象を考えます。
(全場合の数)-(全員女子の場合の数)=(少なくとも1人男子の場合の数)
となります。

全場合の数は、9人から3人選ぶ場合の数なので、9C3=9×8×7/3×2×1=84(通り)
全員女子の場合の数は、女子5人の中から3人を選ぶ選び方なので、
5C3=5C2=5×4/2×1=10(通り)
よって、84-10=74(通り)

答えはFとなります。

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