就職活動に役立つSPI非言語分野テスト対策サイト

場合の数 ①基礎

スポンサーリンク

LINEで送る
Pocket

姉妹サイト 公務員試験数的処理解法テクニック教室 と同一内容です。

公式

まずは二つの公式を載せます。

順列

異なるn個のものからr個選び、並べる これを【 順列 】といいその総数は
spi場合の数基礎 nPr=n×(n-1)×(n-2)×・・・(n-r+1)

組合せ

異なるn個のものからr個選ぶ これを【 組合せ 】といいその総数は
spi場合の数基礎 nCr=nPr/r!

※r!=r×(r-1)×(r-2)×・・・×3×2×1

ポイント

この公式はもちろん大事ですが、公式丸暗記だけでは問題は解けません。どのようなときにどのように使えばよいのか、を理解・暗記することが最終目標です。

そのためには「全パターンを書き出す」ことからはじまります。

以下のような姿勢で問題に臨みましょう。

  1. 書き出しをすることで問題の全容を把握する
  2. 公式の正しい使い道が見える
  3. 結局は、全部書き出さなくとも、計算で答えがでる

しかし、次のようなパターンもあります。
  1. 書き出しをすることで問題の全容を把握する
  2. 公式が適用できないことがわかる。最後まで書き出しきるのみ

書き出し

基礎例題①

大小2つのさいころを投げます。出た目の和が8になるのは何通りですか。
解答と解説

解答と解説

5通り

『えーと、どっちの公式を使うんですか。』と考えずに、とにかく書き出しましょう。
spi場合の数基礎 例題1書き出し表

以上の5通りです。

重要
小さい順、大きい順、あいうえお順などのように、書き出しの際はルールを決めます。

書き出しきってそれで終わりました。
このようにそもそも公式なんて通用しない問題もあります。まず、これを知っておいてください。

基礎例題②

50円玉、 100円玉、 500円玉がたくさんある。この中から合計1200円になるような硬貨の取り出し方は何通りありますか。ただし、どの硬貨も少なくとも1枚は使うものとします。
解答と解説

解答と解説

7通り

これも書き出しで求めます。順列でも組合せでもありません。
決められた大きさ(1200円)を埋める問題は、まず大きいもの(500円)で埋めます。残りの隙間を小さいもので埋めるのは簡単です。
spi場合の数基礎 例題2表

順列

いよいよ順列の公式が使えるケースがどのような場合なのかを見ていきましょう。
まずは書き出しをすることで公式の仕組みを理解しましょう。

基礎例題③

1,2,3,4,の4枚のカードから2枚をとりだして2桁の整数をつくると、何通りの整数ができますか。
解答と解説

解答と解説

12通り

まずは小さい順に書き出してみます。
spi場合の数基礎 例題3表
赤い背景部分はつくれません。同じ数字のカードが2枚ないからです。
よって、12通りになります。

基礎例題④

1,2,3,4,5の5枚のカードから3枚をとりだして3桁の整数をつくると、何通りの整数ができますか。
解答と解説

解答と解説

60通り

小さい順に書き出します。
123 124 125 132 134・・・ 何回も百の位の1を書くのは嫌になっちゃいます。以下のような書き方で省略しましょう。木の枝分かれのような図なので、樹形図といいます。
spi場合の数基礎 例題④樹形図
百の位が1のとき、12通りの整数がつくれました。
これはもしかして、百の位が 2 のときも、3 のときも・・・5通りすべてで12通りずつ作れますね!

12×5=60通り 枝分かれする順にかけ算をかくと 5×4×3=60通り


この計算、5×4×3=60 が、冒頭に出て来た順列の公式そのものとなります。

異なるn個のものからr個選び、並べる
spi場合の数基礎 nPr=n×(n-1)×(n-2)×・・・(n-r+1)
本問においては、異なる5個( n )のものから3個( r )選び、並べる。ということですね。

順列の公式は、樹形図を背景にしたものです。
順列の公式は条件付き問題になったとたん、使い方が分からなくなる人が多いです。公式丸暗記では今後対応しきれません。
上記の仕組みをきっちり理解してください!
全場合の数がどんな樹形図になるのか明確なイメージがわけば、どんなかけ算をすればよいのか自明になります。
※ここをきっちりと理解しておけば、確率の理解がスムーズになります。

基礎例題⑤

A、B、C、D、E、Fの6人でリレーをします。走る順序は全部で何通りありますか。
解答と解説

解答と解説

720通り

樹形図の全体像をイメージしましょう。(実際に書いてみるのもよいです。)規則正しく枝分かれしていきますね。
そのイメージがあれば、計算1発ですね。

6×5×4×3×2×1=720(通り)
答え 720通り


Sponsored Links

条件つき問題

条件がある場合、そこから決めていくことで効率よく調べきることができます。

基礎例題⑥

0,1,2,3の4枚のカードから3枚をとりだして、3けたの整数をつくると、何通りの整数ができますか。
解答と解説

解答と解説

18通り

異なる4枚から3枚を取り出して並べる、まさに順列の問題です。
しかし、【 0 】は、はじめ(百の位)におけない という条件が隠れています。
spi場合数基礎例題⑥ 樹形図
百の位が 2、3 のときも同様に6通りずつあるので、
6×3=18通りとなります

基礎例題⑦

男子2人、女子3人の合わせて5人が一列に並んで写真撮影をする。
両端が男子になる並び方は何通りありますか。
解答と解説

解答と解説

12通り

男子をA、B・女子をP、Q、Rとします。

男子の並び方は
A○○○B  と B○○○A  の2通りあります。
女子は○○○のところに並べます。

女子の並べ方は
3×2×1=6(通り)※順列ですね

よって、2×6=12(通り)
答えは12通りとなります。

この式【 2×6=12 】ですが、なぜかけ算なのか分からなくなった人はいませんか?
これも、樹形図の枝分かれだからです。A○○○B と B○○○A の2通りにそれぞれ6通りずつ枝分かれがあるからです。
場合の数基礎 例題7

組合せ

場合の数における最重要項目です。

基礎例題⑧

P、Q、R、Sの4人の中から、そうじ当番を2人選びます。選び方は何通りありますか。
解答と解説

解答と解説

6通り

順列との違いがわかりますか?
「2人を選ぶ」と、「2人を選んで並べる」の違いです。
この問題で聞かれているのは、「2人を選ぶ」です。
選ぶだけで並べ方を考えないようなものを「組合せ」といいます。

「2人を選ぶ」と、「2人を選んで並べる」の2つですが、より簡単に求められるのは「2人を選んで並べる」順列の方です。
4×3=12通りですね。
この12通りの中には、

  • PQ
  • QP

という2通りが含まれていますが、組合せにおいてはこの2通りは同じものとみなします。
2人を選ぶだけで、並び方は関係がないからです。

同じものを2回数えてしまっているので、
12÷2=6
6通り が答えです。

順序を区別したものである「順列」を、重複して数えてしまっている回数で割ると「組合せ」が求まります。
順列 ÷ 重複 = 組合せ ・・・これが組合せの公式の意味です。

※組合せを求める状況で、条件付き順列を考慮することは一切ないので安心してください。

公式を用いて、上記の解き方を簡潔にかくと

場合の数基礎 基礎例題8 4C2=4×3/2×1=6通りとなります。

基礎例題⑨

A、B、C、D、Eの5人の中からそうじ当番を3人選ぶ選び方は全部で何通りありますか。

解答と解説

解答と解説

10通り

「3人を選ぶ」と、「3人を選んで並べる」 の違いはもう大丈夫でしょうか。
より簡単に求められる方が、「3つを選んで並べる」ですね(いわゆる順列)。
5×4×3=60通りです。

この60通りの中には

  • ABC
  • ACB
  • BAC
  • BCA
  • CAB
  • CBA

が含まれています。
この6つは「3人を選ぶ」だけのときは、同じものとみなします。(並べ方は関係ないからです)。
つまり、6回重複して数えて、60通りだったのですから、
60 ÷ 6 = 10 で組合せが求まります。

答え 10通り  となります。

公式を用いて、上記の解き方を簡潔にかくと
場合の数基礎 基礎例題 95C3=5×4×3/3×2×1となります。

組み合わせ公式の確認

異なるn個のものからr個選ぶ事を組合せといい、その総数は

spi場合の数基礎 nCr=nPr/r!
※r!=r×(r-1)×(r-2)×・・・×3×2×1・・・この分母が重複の数ですね!

別解 組合せの重要公式

nCr=nCn-r

5人からそうじ当番を3人選ぶと、自動的に2人が選ばれないことになります。
つまり、このそうじをしなくてもよい2人を選べば、そうじ当番3人も決まるのです。
よって、5人からそうじをしなくてもよい2人を選べばよいので
5C2=5×4/2×1=10(通り)

答え 10通りとなります。

3=55-3 なのです。

基礎例題⑩

黒石6個と、白石4個を1列に並べます。並べ方は全部で何通りありますか。

解答と解説

解答と解説

210通り

並べるという言葉で、一見順列のようだが・・・実は組合せなんですね。
理屈をしっかり理解・暗記しましょう。

黒石と白石の並べ方の1例をかいてみます。
場合の数基礎 黒石と白石の並べ方の1例

白石を1,5,7,8、に 置きました。
つまり、4個の白石を置く場所を1~10の中から4つ選んだのです。これは組合せですね。
場合の数基礎 10C4=10×9×8×7/4×3×2×1=210(通り)

答え210通りとなります。

※黒石6つを置く場所を選ぶならば、10C6 ですね。
もちろん、10C6=10C4 です。

余事象

基礎例題⑪

大小2つのさいころをふり、出た目の積が偶数になる目の出方は何通りありますか。
解答と解説

解答と解説

27通り

場合の数基礎 基礎問題11
上で示した通り、4パターンの場合分けがあります。
積が偶数になる3パターンがそれぞれ何通りずつあるのかを求めて足すことで答えがでます。しかし目の出方は全部で、6×6=36通りあり、そこから積が奇数になる場合の数を引いた方が楽ですね。

このように、求めたい事象ではない方を余事象といいます。

大小どちらも奇数の目が出るのは、
3×3=9(通り)なので、36-9=27(通り)

答え27通りです。

基礎例題⑫

男子3人・女子5人の中から委員を3人選ぶ。
少なくとも1人男子を選ぶ選び方は何通りありますか。
解答と解説

解答と解説

46通り

少なくとも1人男子とは、

  • 【男 女 女】
  • 【男 男 女】
  • 【男 男 男】

のどれかです。3パターンの場合分けが必要ですね。
「少なくとも1人男子」の余事象は何になるでしょうか。
答えは「1人も男子がいない=全員女子」です。

「全事象」から、「全員女子」を引いて求めたほうが速いです。

全場合の数は、8人から3人選ぶ場合の数なので、
場合の数基礎 基礎例題12 8C3=8×7×6/3×2×1=56(通り)

全員女子の場合の数は、女子5人の中から3人を選ぶ選び方なので
場合の基礎 基礎例題12 5C3=5C2=5×4/2×1=10(通り)
よって、56-10=46(通り)です。

以上で場合の数の基礎はばっちりです!!

→ 問題一覧はこちら → 例題はこちら → 練習問題はこちら

SPI非言語・分野別 問題と分かりやすい解答一覧

  • Facebook
  • Hatena
  • twitter
  • Google+

大手サイトだけじゃない!!就活セカンドオピニオン

新卒・スカウト型就活サービス

まだ登録に迷っている学生さんへ【キミスカ】

各業界の専任コンサルタントがベストマッチな企業を紹介する新卒の就職活動サイト。
無料会員登録でプロフィールや選考の状況を開示することで、企業から特別選考のスカウトをもらうことができます。

第二新卒・既卒向けサポート

既卒特有の面接ノウハウをマンツーマンでレクチャー!!【ウズキャリ既卒】


20代のための次世代型就活サポート!
無料就活スペースで話す、気づく、変わる就職活動を。
既卒の就職サポートサービスを完全無料で提供。
ブラック企業を独自の厳しい基準で除外、厳選された求人のみ紹介。価値感の合う企業に出会えます。

スポンサーリンク

基礎を学習するなら

おすすめ記事

SPI非言語・分野別 問題と分かりやすい解答一覧

  • facebook
  • twitter
PAGETOP
Copyright © SPI非言語対策教室 All Rights Reserved.
Powered by WordPress & BizVektor Theme by Vektor,Inc. technology.