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確率 ①基礎

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確率の定義

確率基礎 確率の定義 確率=対象となる場合の数/すべての場合の数
これは定義なのでしっかり暗記します。
※場合の数があやふやな人は、場合の数をきっちり固めてから確率の勉強に入りましょう

  • サイコロを1つ投げて、1の目がでる確率は確率基礎 確率の定義 1/6
  • サイコロを1つ投げて、偶数(2,4,6)の目がでる確率は確率基礎 確率の定義 3/6=1/2
  • サイコロを1つ投げて、6以下の目が出る確率1(必ず起こる確率は1)
  • サイコロを1つ投げて、10の目が出る確率0(絶対に起こらない確率は0)

和の法則

基礎例題1

大小2つのサイコロをふります。

      (1) 出た目の和が6になる確率を求めなさい。
      (2) 出た目の和が12になる確率を求めなさい。
      (3) 出た目の和が6の倍数になる確率を求めなさい。

解答と解説

解答

(1)5/36(2)1/36(3)1/6

(1)解説

すべての場合の数は、6×6=36(通り)です。

和が6になる場合をすべて書き出します。
確率基礎 表
上記の5通りなので、確率基礎 基礎例題1 5/36です。

(2)解説

和が12になる場合をすべて書き出します。

6

6

上記の1通りなので、確率基礎 基礎例題1 1/36です。

(3)解説

和が6の倍数になるのは、6のときと12のときしかないので、確率の定義通り考えると
spi非言語 確率基礎 和の法則5+1/36=6/36 もちろん約分して答えはspi非言語 確率基礎 基礎例題 1/6です。
これは、別の見方もあり、和が6になる確率と和が12になる確率の和spi非言語 確率基礎 基礎例題 5/36+1/36=6/36として答えを出すこともできます。

和の法則とは、この程度のことです。
2つの目の和が6または12のとき、のように独立した事象のどちらかが起こる確率は、それぞれの確率の和をとることで求まります。

積の法則

基礎例題2

1,2,3,4の4枚のカードから1枚引き、引いたカードを戻して、また1枚引きます。
1を2回続けて引く確率を求めなさい。

解答と解説

解答

spi非言語 確率基礎 基礎例題 1/16

解説

連続して起こる事象の確率はかけ算をします。
いわゆる積の法則です。
4枚の中から1枚の1を引く確率はspi非言語 確率基礎 基礎例題1/4なので、
spi非言語 確率基礎 基礎例題 1/4×1/4=1/16
答えはspi非言語 確率基礎 基礎例題 1/16となります。

なんで確率をかけ算するのか、ピンとこない人もいますでしょうか。

「場合の数」で学習をした樹形図です。
連続して試行すると、全場合の数が爆発的ひろがっていく樹形図のイメージです。かけ算ですね。

spi非言語対策 確率

連続して起こる事象の確率は、確率どうしのかけ算となるということをきっちり覚えましょう。


※ここでは、長々とした数学的厳密性のある説明はしません。その方が有益と考える為、上記のような感覚的な説明に留めておきます。

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余事象

ここでは場合の数でも学習した余事象について学びます。

基礎例題3

白玉6個、赤玉4個の入った袋から、1個ずつ、3個の玉を取り出します。
取り出した玉はもとに戻しません。少なくとも1個白玉の確率はいくらですか。

解答と解説

解答

spi非言語 確率基礎 基礎例題 29/30

解説

「少なくとも1個白玉」とは白玉の個数は1個でも2個でも3個全部でも良いのだから、非常にたくさんの場合分けが必要です。

      (白白白)
      (白白赤)
      (白赤白)
      (赤白白)
      (白赤赤)
      (赤白赤)
      (赤赤白)

全7パターンの場合分けとなります。こういうときは余事象でしたね。

(全事象の確率) - (すべて赤玉の確率) =(少なくとも1個白玉の確率)

すべて赤玉の確率はspi非言語 確率基礎 基礎例題4/10×3/9×2/8=1/30となります。
よって、全事象の確率である1から引いて
spi非言語 確率基礎 基礎例題 1ー1/30=29/30となり答えはspi非言語 確率基礎 基礎例題 29/30となります。

同時に取り出す

基礎例題4

白玉が4個、赤玉が5個入っている袋の中から、同時に2個の玉を取り出します。

  • (1)取り出した2つが、2つとも白玉である確率はいくらですか。
  • (2)取り出した2つが、白玉1つ、赤玉1つである確率はいくらですか。

解答と解説

解答

spi非言語 確率基礎 基礎問題解答 (1)1/6 (2)5/9

「同時に取り出す」ときの公式の使い方がわかりません!という声が聞こえてきそうです。こういうときは、定義にしたがってきっちり考えるのです。

(1)解説

白玉どうし、赤玉どうしを区別するために名前をつけます。

  • 白:W X Y Z
  • 赤:A B C D E

全場合の数は、異なる9個から2個を取り出す組み合わせで
spi非言語 確率基礎 基礎例題9C2=9×8/2×1=36(通り)
取り出した2つが、2つとも白玉である場合の数は、W、X、Y、Zの4個から2個を取り出す組み合わせで
spi非言語 確率基礎 基礎例題 4C2=4×3/2×1=6(通り)
よってspi非言語 確率基礎 基礎例題 6/36 =1/6
答えはspi非言語 確率基礎 基礎例題 1/6となります。

ポイント

答えは求まりましたが、「同時に取り出す」と「同時ではなく1つ1つ順番に取り出す」の違いを見ておきましょう。

1つ1つ順番に取り出すルールで、2つとも白玉である確率はいくらなのでしょうか。
1つ目が白の確率と、2つ目が白の確率の積で求まります。
spi非言語 確率基礎 基礎例題 4/9 × 3/8 = 1/6
同じ答えです。
実はこれは偶然ではありません。
常に同じ確率です。だから、積の法則で答えを出しても大丈夫なのです。

両手に1つずつ同時に取り出した玉を持ち、どちらも白だとします。
その結果を右手の玉から見ても左手の玉から見ても白、白という結果で、区別はできません。これが先の答えが同じになる理由です。
何を言っているのかよくわからないですか?
頭がこんがらがるのが普通なので、あせらずよく考えて理解しましょう!
しかし、どうしても腑に落ちないなら「同時に取り出す」という問題文通りに答えが出せればそれで大丈夫です。

(2)解説

この問題では1つ1つ順番に取り出すルールと、同時に取り出すルールの違いが如実に現れます。
以下に2つの解法を示します。

自分にとってしっくりくる解法を選んでいただければ大丈夫です。

①同時に取り出した という問題文通りの解き方

全場合の数は、異なる9個から2個を取り出す組み合わせで
spi非言語 確率基礎 基礎例題9C2=9×8/2×1=36通り
取り出した2つが、1つ白玉、1つ赤玉である場合の数は
1×41=5×4=20(通り)
よって答えはspi非言語 確率基礎 基礎例題20/36=5/9

②1つ1つ順番に取り出す計算方法での解き方

「同時に取り出した2つが、白玉1つ、赤玉1つである確率」とは
「1つ目が白玉、2つ目が赤玉の確率」と「1つ目が赤玉、2つ目が白玉の確率」の和になります。

1つ目が白玉、2つ目が赤玉の確率
spi非言語 確率基礎 基礎例題4/9×5/8=5/18
1つ目が赤玉、2つ目が白玉の確率
spi非言語 確率基礎 基礎例題5/9×4/8=5/18
これらの確率の和をとって
spi非言語 確率基礎 基礎例題 5/18+5/18=5/9
当然ですが、2つの解法で同じ答えがでてきますね。

※この問題の別解として、余事象を利用する解法もあります。
その際は「取り出した2つが2つとも赤玉である確率」を求めて、全確率1からこれと(1)の答えを引きます。


これで確率の基礎は大丈夫です!!

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